MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) E MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Podemos usar a abreviação m.m.c.
Dois ou mais números naturais sempre possuem múltiplos comuns a eles.
M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,...}
M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75,...}
Múltiplos comuns de 10 e 15 = {0, 30, 60, 90,...}
Dentre os múltiplos desses números, percebe-se que o 30 é menor natural positivo que é múltiplo comum. Dessa forma, podemos chamar o 30 de mínimo múltiplo comum de 10 e 15, ou seja, mmc(10, 15) = 30.
CÁLCULO DO M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado, onde dividimos os números por um mesmo número primo até que pelo menos um deles possa ser dividido. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60). Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ...
PROPRIEDADE DO M.M.C.
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Dois números naturais sempre têm divisores comuns.
Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
EXEMPLOS: Vamos achar os divisores comuns de 30 e 24.
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 30}
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Divisores comuns de 30 e 24 = {1, 2, 3, 6}
Dentre os divisores desses números, percebe-se que o 6 é maior natural positivo que é divisor comum. Dessa forma, podemos chamar o 6 de máximo múltiplo comum de 30 e 24, ou seja, mdc(30, 24) = 6. CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Esse processo de decomposição funciona de forma semelhante ao m.m.c., onde todos os números são decompostos ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. Mas nesse caso, a divisão só poderá ser feita se todos os números ferem divisíveis ao mesmo tempo por cada um dos números primos. O produto dos fatores primos comuns que obtemos nessa decomposição é o m.d.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.d.c.(15,24,60). Portanto, m.d.c.(24,30,60) = 2 x 3 = 6
OBS: EM UMA QUESTÃO, COMO DIFERENCIAR MMC E MDC?
- Quando a questão remeter a uma situação cíclica, pense em MMC.
- Quando a questão quiser dividir em partes iguais de maior tamanho possível, pense em MDC.
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